博弈论 101 第 39 讲：三种策略混合

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视频元信息

系列：Game Theory 101（博弈论101）第40讲，对应完整教材第3.6课
主题：在三种策略之间进行混合（改良版石头剪刀布的混合策略纳什均衡求解）
授课者：WIFT & Sanyou（字幕转写）
性质：本单元最后一个视频

内容摘要（TL;DR）

本视频求解改良版石头剪刀布博弈的混合策略纳什均衡。由于纯策略均衡不存在、两策略混合均衡也不存在，均衡必然要求玩家在全部三种策略间混合。通过令玩家一在"上、中、下"三种纯策略上的期望效用相等，解出玩家二以 1/4 出石头、1/4 出布、1/2 出剪刀；由对称性，玩家一策略相同。核心洞见是：布对石头的收益被抬高后，均衡中剪刀的出招概率反而翻倍。

一、课程背景与问题定位 [00:00]

本节是博弈论101完整教材第3.6课的内容，也是本单元的最后一个视频。
回顾此前几讲铺垫：
- 几讲之前引入了改良版石头剪刀布博弈的概念。
- 两讲之前讲了一个巧妙的小定理，用于求解这类对称零和博弈。
- 上一讲证明了：该博弈中不存在纯策略纳什均衡，也不存在任何玩家只在两种策略间混合的混合策略纳什均衡。

考点：结论定位 既然纯策略均衡不存在、两策略混合均衡也不存在，那么均衡只能是每个玩家都在全部三种策略之间进行混合的混合策略纳什均衡。

本视频只求解其中一位玩家的混合策略；另一位玩家的求解过程完全一样，留作练习自行完成。

理解：这是一种"对称博弈只解一半"的高效做法——对称零和博弈中双方的均衡混合策略必然相同，因此只需解出一个玩家的无差异条件即可。

二、符号化：把石头剪刀布改名为上中下／左中右 [01:03]

为了便于书写，先把策略名称抽象化：

玩家一（行玩家）	玩家二（列玩家）	原策略名
上（Up）	左（Left）	石头 Rock
中（Middle）	中（Center）	布 Paper
下（Down）	右（Right）	剪刀 Scissors

玩家二的混合策略定义（三个概率，两个自由变量）：

$\sigma_{left}$：玩家二选择左（石头）的概率
$\sigma_{center}$（可写作 $\sigma_c$）：玩家二选择中（布）的概率
$1 - \sigma_{left} - \sigma_{center}$：玩家二选择右（剪刀）的概率

易错点：为什么第三个概率用减法表示？ 因为玩家二必须以概率 1 做某件事。凡是它没有选左、也没有选中时，就是选右。所以三策略混合中，只需引入两个独立变量（$\sigma_{left}$ 与 $\sigma_{center}$），第三个是前两者的余数（补集）。这与过去两策略时只用 $\sigma_{left}$ 和 $1-\sigma_{left}$ 是同一逻辑的扩展。

理解：从两策略到三策略，自由变量从 1 个变成 2 个，这是求解复杂度提升的根本原因——多了一个未知数，就需要多一个方程。

三、求解思路：无差异条件 [02:10]

核心原理：玩家二采用的混合策略，必须让玩家一在全部三种策略之间都无差异。

原因链条：

玩家一在均衡中同样会进行混合；
要让玩家一愿意混合，其混合策略支撑集中的每一个纯策略都必须带来相同的期望效用；
因此要求解玩家一的无差异条件，找出能让玩家一在上、中、下三策略间无差异的玩家二混合策略；
这个策略就是玩家二的均衡策略。

推导：这是混合策略纳什均衡的标准逻辑——若某纯策略期望效用更高，玩家一会把全部概率移过去而不再混合，混合便不成立。所以均衡中"被混的每个纯策略"效用必须打平。

求解方法（与两策略时完全一致的混合策略算法，只是项数增加）：

求玩家一选上的期望效用，表示为混合策略的函数；
求玩家一选中的期望效用；
求玩家一选下的期望效用；
令三者两两相等，解出 $\sigma_{left}$ 和 $\sigma_{center}$。

四、逐步计算三种纯策略的期望效用 [03:22]

易错点：数字来源 期望效用中的收益数字，直接来自收益矩阵中"玩家一选某策略 × 玩家二选某策略"交叉格里的玩家一收益。$\sigma_{left}$、$\sigma_{center}$、$1-\sigma_{left}-\sigma_{center}$ 分别是玩家二出左、中、右的概率。不要混淆"谁的概率"和"谁的收益"。

4.1 玩家一选"上"的期望效用 [03:22]

概率 $\sigma_{left}$ 时（玩家二出左），玩家一得上收益（记为 $-2$）
概率 $\sigma_{center}$ 时（玩家二出中），玩家一得上收益 $4$
概率 $1-\sigma_{left}-\sigma_{center}$ 时（玩家二出右），玩家一得上收益 $1$

化简后得到：

$$EU(上) = -3\sigma_{center} + 1 - \sigma_{left}$$

理解：视频口述中"3 或负 3 乘以 sigma center 再加 1 减 sigma left"即为该式。化简过程中合并了含 $\sigma_{left}$ 的项。

4.2 玩家一选"中"的期望效用 [04:31]

概率 $\sigma_{left}$ 时（玩家二出左），玩家一得中收益 $2$
概率 $\sigma_{center}$ 时（玩家二出中），玩家一得中收益 $0$
概率 $1-\sigma_{left}-\sigma_{center}$ 时（玩家二出右），玩家一得中收益 $-1$

化简后得到：

$$EU(中) = 3\sigma_{left} - 1 + \sigma_{center}$$

4.3 玩家一选"下"的期望效用 [05:38]

概率 $\sigma_{left}$ 时（玩家二出左），玩家一得下收益 $-1$
概率 $\sigma_{center}$ 时（玩家二出中），玩家一得下收益 $1$
概率 $1-\sigma_{left}-\sigma_{center}$ 时（玩家二出右），玩家一得下收益 $0$

化简后得到非常简洁的形式：

$$EU(下) = -\sigma_{left} + \sigma_{center}$$

理解：注意"下"策略的期望效用最简洁，因为它对"右"的收益为 0，含 $(1-\sigma_{left}-\sigma_{center})$ 的项直接消失。这种简化在后续解方程时非常有用。

五、解方程求均衡概率 [06:12]

无差异条件：

$$EU(上) = EU(中) = EU(下)$$

只需从中挑选合适的方程组成方程组。

5.1 求 $\sigma_{left}$

令 $EU(中) = EU(下)$：

$$3\sigma_{left} - 1 + \sigma_{center} = -\sigma_{left} + \sigma_{center}$$

两边 $\sigma_{center}$ 相消，得：

$$4\sigma_{left} = 1 \Rightarrow \sigma_{left} = \frac{1}{4}$$

考点：$\sigma_{center}$ 意外消去 在 $EU(中)=EU(下)$ 这组方程中，$\sigma_{center}$ 直接抵消，一步解出 $\sigma_{left}=1/4$。这是选择方程组的技巧——优先挑能让未知数消去的组合。

5.2 求 $\sigma_{center}$

令 $EU(上) = EU(下)$：

$$-3\sigma_{center} + 1 - \sigma_{left} = -\sigma_{left} + \sigma_{center}$$

两边 $-\sigma_{left}$ 相消，得：

$$1 = 4\sigma_{center} \Rightarrow \sigma_{center} = \frac{1}{4}$$

5.3 求"右（剪刀）"的概率

$$1 - \sigma_{left} - \sigma_{center} = 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$

六、均衡结果与解读 [07:23]

玩家二的混合策略纳什均衡：

策略	原名称	概率
左	石头 Rock	1/4
中	布 Paper	1/4
右	剪刀 Scissors	1/2

玩家一的均衡策略完全相同（对称博弈，求解过程留作练习）：石头 1/4、布 1/4、剪刀 1/2。

6.1 关键洞见：为什么剪刀概率翻倍？ [07:30]

本博弈相对标准石头剪刀布，只改动了"布对石头"这一格的收益——把布对石头的收益抬得很高，使得：

当对手出石头时，布变得非常有吸引力；
当对手出布时，石头变得非常没有吸引力。

考点：反直觉结论 布看起来太有吸引力，直觉上人们会频繁出布。但均衡中恰恰相反——必须用更多剪刀来抵消出布的动机，因为剪刀正好克制布。因此剪刀以 1/2 的概率被出，高于布和石头各 1/4。

思考：这体现了混合策略均衡的"自洽性"——任何一方的策略偏离都会给对手可乘之机。抬高布对石头的收益，反而使剪刀成为均衡中最常出的策略，这正是一种"补偿机制"：用高频率的剪刀来压制被抬高的布。

拓展：视频提到，教材第3.6课还用一般化方法（用变量代替具体数字）求解了该问题，从而能更清楚地看到改良版石头剪刀布中"到底发生了什么"。这属于参数化分析，可揭示收益变化如何系统性地影响均衡概率。

七、方法论总结与注意事项

三策略混合策略求解步骤（可复用模板）：

将三策略抽象命名为上/中/下（行玩家）、左/中/右（列玩家）；
用两个自由变量 $\sigma_{left}$、$\sigma_{center}$ 表示列玩家混合策略，第三个为 $1-\sigma_{left}-\sigma_{center}$；
分别写出行玩家三个纯策略的期望效用；
令三者两两相等（无差异条件）；
挑选能消去未知数的方程组合求解；
由对称性得出另一玩家策略。

易错点汇总

忘记第三个概率是余数而非独立变量；

混淆"玩家二出某策略的概率"与"玩家一在某格中的收益"；

期望效用化简时漏项（尤其含 $(1-\sigma_{left}-\sigma_{center})$ 的展开）；

解方程时不挑选方程组，硬算导致繁琐——应优先选能让变量抵消的组合；

误以为均衡中"看起来收益高的策略"会被更频繁使用，实际可能相反。