博弈论 101 第 39 讲（英文原声）：Mixing among Three Strategies

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视频元信息

讲师：William Spaniel（匹兹堡大学）
对应教材：Game Theory 101: The Complete Textbook，第 3.6 课
本视频定位：本单元（Unit 3）的最后一集
主题：三种策略之间的混合（Mixing among Three Strategies）
时长：约 9 分钟

内容摘要（TL;DR）

本视频通过求解一个"改良版石头剪刀布"博弈，演示如何在三种纯策略之间进行混合策略纳什均衡的计算。核心方法是：令对手在三个纯策略上的期望效用两两相等（无差异条件），建立方程组解出各自的混合概率。最终均衡为：石头 1/4、布 1/4、剪刀 1/2。视频还解释了为何剪刀概率偏高——因为布的收益被大幅提高，需要通过多出剪刀来"抵消"布的吸引力。

一、课程回顾与本集定位 [00:01]

讲师开场介绍本集为 Game Theory 101 第 3.6 课，也是本单元的收官视频。

要点总结

本集主题：三种策略之间的混合（Mixing among Three Strategies）。
本集是 Unit 3 的最后一集。

理解：本集是前面几集内容的"收口"环节，把此前铺垫的三个工具串联起来，最终完成改良版石头剪刀布的求解。

前三集铺垫回顾

几集之前：引入了改良版石头剪刀布（modified rock-paper-scissors）这一博弈。
两集之前：介绍了一个便捷定理，用于求解对称零和博弈（symmetric zero-sum games）。
上一集：证明了该博弈中不存在纯策略纳什均衡，也不存在只混合两种策略的混合策略纳什均衡。

关键结论：唯一可能的均衡，是每个玩家在全部三种策略上都进行混合。 因此本集的目标就是求出这个"三策略全混合"的均衡。

二、记号设定：如何描述三策略的混合 [01:03]

求解前，先把石头剪刀布改名，并定义混合策略的概率记号。

要点总结

为便于计算，把策略名改为通用标签：
- 玩家 1（行玩家）：Up / Middle / Down（对应石头 / 布 / 剪刀）
- 玩家 2（列玩家）：Left / Center / Right（对应石头 / 布 / 剪刀）
玩家 2 的混合策略记为：(σ_Left, σ_Center, 1 − σ_Left − σ_Center)
- σ_Left：玩家 2 出 Left（石头）的概率
- σ_Center：玩家 2 出 Center（布）的概率
- 1 − σ_Left − σ_Center：玩家 2 出 Right（剪刀）的概率

为什么第三个概率用"1 减去前两个"表示？

推导：因为玩家 2 必须以概率 1 做某件事，她不在 Left 也不在 Center 的全部时间，就是在 Right。所以第三个概率可以由前两个自动确定，无需单独命名。

易错点：两策略时只需一个变量（σ 与 1−σ）；三策略时必须用两个独立变量，第三个是"剩余概率"。 这是从两策略扩展到三策略时最容易搞混的地方。

三、求解思路：让对手无差异 [02:18]

核心逻辑：玩家 2 的混合策略，必须让玩家 1 在三个纯策略之间无差异。

要点总结

均衡中玩家 1 也要混合，而愿意混合的前提是：他混合策略支撑集（support）中的每一个纯策略，都必须带来相同的期望效用。
因此，我们要找的是让玩家 1 在 Up / Middle / Down 三者间无差异的玩家 2 混合策略。
这正是玩家 2 的均衡策略。

理解：这就是混合策略算法的标准逻辑——"我之所以愿意随机化，是因为每个选项对我来说都一样好"。三策略只是把"两两相等"扩展为"三者全相等"。

求解步骤

分别写出玩家 1 在 Up、Middle、Down 下的期望效用（作为 σ_Left、σ_Center 的函数）。
令三者两两相等。
联立方程组，解出 σ_Left 与 σ_Center。

关键提醒：求解玩家 2 的均衡策略，靠的是玩家 1 的无差异条件；反之亦然。 不要弄反——是"对手的无差异"决定"我的混合概率"。

四、计算玩家 1 的三个期望效用 [03:32]

逐项列出 Up、Middle、Down 的期望效用并化简。

4.1 Up（石头）的期望效用

要点总结

公式：EU(Up) = σ_Left × 0 + σ_Center × (−2) + (1 − σ_Left − σ_Center) × 1
化简结果：EU(Up) = 1 − σ_Left − 3σ_Center

推导过程：

玩家 2 出 Left 时，玩家 1 出 Up 得 0；
玩家 2 出 Center 时，玩家 1 出 Up 得 −2（布包石头）；
玩家 2 出 Right 时，玩家 1 出 Up 得 1（石头砸剪刀）。
展开：0·σ_L − 2σ_C + 1 − σ_L − σ_C = 1 − σ_L − 3σ_C。

4.2 Middle（布）的期望效用

要点总结

公式：EU(Middle) = σ_Left × 2 + σ_Center × 0 + (1 − σ_Left − σ_Center) × (−1)
化简结果：EU(Middle) = 3σ_Left − 1 + σ_Center

推导过程：

玩家 2 出 Left 时，玩家 1 出 Middle 得 2（布包石头）；
玩家 2 出 Center 时，玩家 1 出 Middle 得 0；
玩家 2 出 Right 时，玩家 1 出 Middle 得 −1（剪刀剪布）。
展开：2σ_L + 0 − 1 + σ_L + σ_C = 3σ_L − 1 + σ_C。

4.3 Down（剪刀）的期望效用

要点总结

公式：EU(Down) = σ_Left × (−1) + σ_Center × 1 + (1 − σ_Left − σ_Center) × 0
化简结果：EU(Down) = −σ_Left + σ_Center

推导过程：

玩家 2 出 Left 时，玩家 1 出 Down 得 −1（石头砸剪刀）；
玩家 2 出 Center 时，玩家 1 出 Down 得 1（剪刀剪布）；
玩家 2 出 Right 时，玩家 1 出 Down 得 0。
展开：−σ_L + σ_C + 0 = −σ_L + σ_C。

易错点：三个期望效用必须两两相等，而不是简单相加。 常见错误是只令 Up = Middle 就下结论，三策略时必须用到全部三组等式（实际只需两组独立等式即可求解两个未知数）。

思考：注意 Down 的期望效用里"剩余概率"那一项系数是 0，所以 (1 − σ_L − σ_C) 项直接消失，化简后形式最简洁。这是该博弈特定收益结构造成的巧合。

五、联立方程求解 σ_Left 与 σ_Center [06:55]

利用无差异条件，建立方程组并求解。

要点总结

无差异条件：EU(Up) = EU(Middle) = EU(Down)
第一步：令 EU(Middle) = EU(Down)
- 3σ_L − 1 + σ_C = −σ_L + σ_C
- σ_Center 项相互抵消，得 4σ_L = 1
- σ_Left = 1/4
第二步：令 EU(Up) = EU(Down)
- 1 − σ_L − 3σ_C = −σ_L + σ_C
- σ_Left 项相互抵消，得 1 = 4σ_C
- σ_Center = 1/4
第三步：剩余概率
- σ_Right = 1 − σ_Left − σ_Center = 1 − 1/4 − 1/4 = 1/2