博弈论 101 第 49 讲：彩票

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视频元信息

系列：Game Theory 101（博弈论 101）
本集主题：彩票（Lotteries）与期望效用理论（Expected Utility Theory）
主讲人：William Spaniel（匹兹堡大学）
时长：约 5 分钟（304 秒）

内容摘要（TL;DR）

本集引入博弈论中的「彩票」概念——即结果上的概率分布。核心问题是：能保留偏好排序的效用表示有无限多种，但不同表示会改变偏好强度，从而在涉及随机化时给出不同结论。因此需要引入期望效用理论，并对偏好施加额外公理（独立性、连续性）来约束效用数值的使用。

一、回顾：偏好排序与效用转换 [00:05]

之前课程讲过偏好排序（preference ordering）：当一个人的偏好完整（complete）且具有传递性（transitive）时，就形成了排序。
举例：斗脑（Dounao）对食物的偏好排序为：中餐 > 亚美尼亚菜 > 巴西菜。
我们想把偏好排序转换成数据化的效用（utility），这样求解策略互动会更容易。

理解：效用本质上是把「我喜欢 A 胜过 B」这种定性关系，转成可以用数字比较、运算的定量表达。

易错点： 这个效用转换过程并不直接，存在多种转换方式。

二、两种效用表示及其差异 [00:34]

第一种效用表示

选项	效用
中餐	3
亚美尼亚菜	2
巴西菜	1

保留了原偏好排序：最喜欢的选项收益最高，最不喜欢的收益最低。

第二种效用表示

选项	效用
中餐	4
亚美尼亚菜	2
巴西菜	1

同样保留了偏好排序，但中餐看起来相对更有吸引力了。

考点： 能保留偏好排序的效用表示方式有无限多种。

推导：只要保持数值的相对大小顺序不变（单调递增变换），任何赋值都能保留排序。例如把 (3,2,1) 变成 (100,50,1) 或 (1.5,1.2,1.0) 都行。

三、偏好强度为何重要 [01:21]

很多效用表示会改变「一个结果相对于另一个结果的吸引力」，也就是改变偏好强度（preference intensity）。
当比较的是两个确定发生的结果时，偏好强度并不重要——只要排序对，选哪个都一样。
但是，一旦过程涉及随机化（randomization），偏好强度就会打乱计划。

思考：这就是本集的核心动机。确定性选择只依赖排序；而涉及概率的选择（期望效用）依赖数值大小。

这正是彩票发挥作用的地方。

四、什么是彩票（Lottery） [01:43]

定义： 在博弈论中，彩票就是结果上的一个概率分布（probability distribution over outcomes）。
举例：以 1/2 的概率得到 A，以 1/2 的概率得到 B——这就是一个彩票。

为什么在基础博弈论之后讲彩票

混合策略（mixed strategies）会产生彩票。
举例：猜硬币（Matching Pennies）博弈中，如果我以 1/2 概率出正面、1/2 概率出反面，那么即使你采用纯策略，也已经为双方引入了一个彩票——一个结果以 1/2 概率发生，另一个结果也以 1/2 概率发生。

理解：混合策略 = 玩家主动随机化 = 制造彩票。所以彩票不是抽象概念，而是混合策略博弈的必然产物。

提醒： 这里的「彩票」不是指 Powerball 那种现实中的彩票。如果你是想听现实彩票的博弈论，那点错视频了（视频中有标注可跳转到另一视频）。

五、核心案例：确定结果 vs 彩票 [03:02]

设定

斗脑面临一个选择：

选项 1：确定得到 A
选项 2：以 1/2 概率得到 B，1/2 概率得到 C（即 B 和 C 之间五五开的彩票）

用第一种效用表示计算

确定得到 A → 收益为 2。
彩票的期望效用 = 3 × 0.5 + 1 × 0.5 = 2。
结论： 斗脑对「确定得到 A」和「B/C 五五开彩票」无差异（indifferent）。

用第二种效用表示计算

确定得到 A → 收益仍为 2（A 的效用未变）。
彩票的期望效用 = 4 × 0.5 + 1 × 0.5 = 2.5。
结论： 斗脑更偏好彩票，而不是确定得到 A。

推导：注意 B 的效用从 3 变成 4，改变了彩票的期望值（2 → 2.5），而 A 的效用保持 2 不变，于是偏好结论翻转。

考点（本集最关键结论）： 在选用哪种效用表示来刻画偏好时，必须非常小心。不能随便用一个能保留偏好排序的效用函数就行——两个结果之间的相对强度实际上很重要。

同一个彩票，在一种效用表示下让某个确定结果看起来更好，在另一种效用表示下结论却正好相反。这说明：仅靠偏好排序不足以分析涉及随机化的选择，必须对效用数值施加额外约束。

六、期望效用理论的偏好公理 [04:35]

在深入比较「确定结果 A」和「B/C 五五开彩票」之前，必须先对个人如何看待偏好的吸引力做出假设。
换句话说，就是关于彩票本身的偏好公理（axioms of preference over lotteries）。
我们所用的数字必须先满足某些条件，才能进行上述分析。
这正是另外两条偏好公理在期望效用理论（Expected Utility Theory）中发挥作用的地方：
1. 独立性（Independence）
2. 连续性（Continuity）

理解：独立性公理大致是说，如果 A 优于 B，那么在任意彩票中以相同概率替换 A 和 B，偏好关系不变。连续性公理大致是说，偏好不会出现「跳跃」——如果 A 优于 B 优于 C，那么存在某个概率组合使 A 与 B、C 的彩票无差异。这两条公理保证效用数值有意义、可用于期望效用计算。

本集结尾预告：下一集将讲独立性（Independence）。

七、本集知识结构梳理

基础内容（本集已讲）

偏好排序 → 效用转换存在多种表示。
不同表示改变偏好强度。
确定性选择下偏好强度不重要。
涉及随机化时偏好强度变得关键。
彩票 = 结果上的概率分布。
混合策略会产生彩票。
案例：确定 A vs B/C 彩票，两种效用表示给出相反结论。

拓展补充【拓展】

期望效用（Expected Utility）： 彩票的效用 = 各结果效用按概率加权的和，即 U(L) = Σ p_i · u(x_i)。这是冯·诺依曼–摩根斯坦（von Neumann–Morgenstern）效用理论的核心公式。
序数效用 vs 基数效用： 仅保留排序的效用是「序数效用」（ordinal）；能进行期望计算的效用是「基数效用」（cardinal）。本集的核心就是区分这两者。
为什么需要公理： 只有满足独立性、连续性等公理，才能保证存在一个效用函数，使得「按期望效用比较彩票」与「按偏好比较彩票」一致。这是期望效用表示定理（representation theorem）的内容。
常见踩坑点：
- 误以为「只要排序对，效用随便赋值都行」——在涉及概率时这是错的。
- 混淆「现实彩票」与「博弈论彩票」。
- 忘记混合策略本身就是彩票，导致分析混合策略均衡时忽略期望效用。

关键标签 / 关键词

彩票、Lottery、期望效用、Expected Utility、偏好排序、Preference Ordering、效用表示、Utility Representation、偏好强度、Preference Intensity、混合策略、Mixed Strategy、猜硬币、Matching Pennies、独立性、Independence、连续性、Continuity、冯·诺依曼–摩根斯坦效用、博弈论101、William Spaniel