博弈论 101 第 67 讲：求解贝叶斯纳什均衡

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视频元信息

系列：Game Theory 101（博弈论101），2012–2020，共 p68
主题：求解贝叶斯纳什均衡（Bayesian Nash Equilibrium）——用纳什均衡方法处理不完全信息博弈
语言：中文（原视频为英文，本集为中文转录）

内容摘要（TL;DR）

本讲介绍如何用「纳什均衡」方法求解某一类不完全信息博弈的贝叶斯纳什均衡。核心思路：把参与人二的不同类型（囚徒困境型 vs 利己型）合并为一个参与人的多个策略列，将两个收益矩阵合并成一个 2×4 矩阵，然后像普通博弈一样剔除严格劣策略、标注最佳回应，最终求出纯策略与混合策略贝叶斯纳什均衡。

一、课程引入与核心思路 [00:00]

要点总结：

上一讲定义了贝叶斯纳什均衡，并举了简单例子；本讲教大家用最简单的方法求解某一类不完全信息博弈的贝叶斯纳什均衡。
贝叶斯纳什均衡比纳什均衡更复杂，因为需要为每一种类型的参与人分别找到策略。
核心技巧：如果能用熟悉的矩阵来表示不完全信息博弈，就可以把这些矩阵重新组合成一个不同的矩阵，再用纳什均衡解概念求出原来博弈的贝叶斯纳什均衡。

详细说明：

William Spaniel 开篇点题：贝叶斯纳什均衡（Bayesian Nash Equilibrium）作为一种解概念，比普通纳什均衡要复杂得多——因为在不完全信息环境下，我们需要为每一种类型的参与人分别找到策略。

理解：这里的「复杂」体现在「类型」这一维度上。普通纳什均衡中，每个参与人只有一套策略；而在贝叶斯博弈中，参与人可能是多种类型，每种类型都要有一套策略，因此策略空间被「类型」扩展了。

但尽管如此，我们仍然可以用纳什均衡来求解策略式博弈的贝叶斯纳什均衡。具体做法是：把不完全信息博弈用矩阵表示出来，然后将这些矩阵重新组合成一个新的矩阵，再对这个新矩阵运用我们熟悉的纳什均衡求解方法。

关键前提： 这种方法只适用于能方便地用矩阵（策略式）表示的不完全信息博弈。视频末尾也提到，还有很多其他类型的不完全信息博弈无法方便地用矩阵表示，需要在本单元后面的课程中学习其他求解方法。

二、博弈设定：两种类型的参与人二 [01:00]

要点总结：

参与人二有两种类型：囚徒困境型（概率 0.8）和利己型（概率 0.2）。
参与人一只有一种类型，面对的是关于参与人二类型的不确定性。
参与人一无论面对哪种类型，都拥有利己偏好。
参与人二的收益取决于其类型：囚徒困境型拥有囚徒困境的收益，利己型拥有利己的收益。

详细说明：

本讲的互动博弈包含两个参与人：

参与人一：只有一种类型，但面对关于参与人二的不确定性——他不知道参与人二到底是「囚徒困境型」还是「利己型」。
参与人二：有两种类型：
- 囚徒困境型：概率 0.8，拥有囚徒困境的收益；
- 利己型：概率 0.2，拥有利己的收益。

参与人一不管参与人二是什么类型，都拥有利己偏好。当参与人二是利己型时，右边的矩阵就是一个普通的利己博弈（类似课程第三、四讲讲过的利己博弈）。而参与人二的收益则不同：如果他是囚徒困境型，他拥有的是囚徒困境的收益；此时参与人一仍然和之前一样拥有利己的收益，所以参与人一在两个矩阵里的收益是完全相同的。

理解：这个设定的巧妙之处在于——参与人一只有一种类型，所以他在两个矩阵中的收益一致；而参与人二有两种类型，收益随类型变化。这就为后续「合并矩阵」提供了条件。

易错点： 注意区分「参与人一只有一种类型」与「参与人二有两种类型」。参与人一不需要根据自身类型调整行动，他只需要面对关于对方类型的不确定性；而参与人二则需要为每种类型分别确定策略。

三、关键事实：囚徒困境型必定背叛 [02:07]

要点总结：

如果参与人二是囚徒困境型，他拥有囚徒困境的偏好，因此会采取背叛策略（选右）。
选右严格优于选左，因为 4 > 3 且 2 > 1。
这条信息需要先记住，后面求解时会用到。

详细说明：

在正式求解之前，William Spaniel 强调了一个关于参与人二策略的重要事实：

如果参与人二是囚徒困境型，那么他就拥有囚徒困境的偏好，因此我们知道他会采取背叛策略——在这个情况下就是选右。选右严格优于选左，因为 4 > 3 且 2 > 1。

推导：这是囚徒困境的标准性质——背叛（Defect）严格占优合作（Cooperate）。在收益矩阵中，无论对方选什么，选右的收益都严格高于选左（4 > 3，2 > 1），所以选右是严格占优策略。

考点： 「囚徒困境型必定选右」这一事实是后续剔除劣策略的关键依据。请务必记住这条信息，它会在矩阵合并和均衡求解中反复用到。

四、参与人一的策略困境 [02:29]

要点总结：

囚徒困境型的参与人二想背叛（选右），这对参与人一不利。
如果参与人二是囚徒困境型且会选右，参与人一应该选下。
但如果参与人二是利己型，双方有共同利益，左上角结果对双方最好，参与人一希望选上。
参与人一面临策略困境：既想选上（希望对方是利己型），又担心囚徒困境型坑他，需要为此做好准备。

详细说明：

回到原来的矩阵，参与人一面临一个明显的策略困境：

一方面，囚徒困境型的参与人二想要背叛（选右），这对参与人一不利。如果参与人二会采取不合作策略，那么即使参与人一有利己偏好，他大概也应该跟着配合——面对作为囚徒困境型、选择选右的参与人二，他应该选择选下。
另一方面，如果参与人二是利己型，那么参与人一和利己型的参与人二有着共同利益，左上角的结果对双方都是最好的。所以参与人一非常希望能够选上，这样利己型的参与人二就会选左。

但他又不得不担心囚徒困境型会坑他，所以他也许需要为此做好准备。

思考：这正是「不完全信息」带来的策略复杂性——参与人一无法确定对方的类型，因此无法确定最优行动。这种困境的解决，正是贝叶斯纳什均衡要处理的问题。

五、矩阵合并：将两个矩阵转换为一个 2×4 矩阵 [03:29]

要点总结：

方法：把两个矩阵转换成一个单独的矩阵。
参与人一仍然只有两个策略：选上、选下。
参与人二被合并为一个参与人，拥有四个策略：左左、左右、右左、右右。
四列的含义：左左 = 两种类型都选左；左右 = 只有囚徒困境型选左；右左 = 只有利己型选左；右右 = 两种类型都选右。

详细说明：

现在用纳什均衡来求解贝叶斯纳什均衡。方法是把两个矩阵转换成右边一个单独的矩阵：

参与人一：仍然只有两个策略——选上、选下。参与人一只有一种类型，他不需要根据自己的类型调整行动，也不知道参与人二是什么类型，所以他只有选上或选下这一个选择。
参与人二：这里就复杂多了。我们把参与人二的不同类型区分开，把它们合并成一个单独的参与人，于是就有了四列：左左、左右、右左、右右。

考点：四列的含义

左左：囚徒困境型和利己型都会选择选左；

左右：只有囚徒困境型会选择选左，利己型选择选右；

右左：只有利己型会选择选左，囚徒困境型选择选右；

右右：两种类型都选择选右。

理解：为什么要这样合并？想象一下你的老板对你说：「再过一两个月，我们就要进行这个互动了。我们现在还不知道自己到底是囚徒困境型还是利己型，这是接下来几个月才会弄清楚的事情。但不管发生什么，不管我们最终变成哪种类型，我们都希望有一个在两种情况下都是最优的行动计划。」换句话说，我们需要弄清楚：如果我们变成囚徒困境型该怎么做，如果我们变成利己型又该怎么做。所以我们本质上是在为那个问题做优化——这比直接一次性行动要超前一步。

为什么可以这样做？

推导：从「事前」的角度看，参与人二在行动之前并不知道自己会是哪种类型（或者等价地，我们可以把参与人二视为在类型确定之前就规划好每种类型的行动）。因此，参与人二实际上是在为「如果我是囚徒困境型该怎么做」和「如果我是利己型该怎么做」这两个问题同时做优化。这相当于把参与人二视为一个拥有四个策略的单一参与人。

六、计算合并矩阵的收益 [05:15]

要点总结：

左上左：两种类型都选左，双方都得到 3 的收益。
左上右：参与人一以 0.2 概率得 3、0.8 概率得 0，期望收益 = 0.2×3 + 0.8×0 = 0.6；参与人二收益 = 3×0.2 + 2×0.8 = 2.2。
左下右：参与人一固定得 1；参与人二收益 = 0.2×2 + 0.8×1 = 1.2。
其余五个结果同理计算。

详细说明：

示例一：左上左

回到原始矩阵，如果参与人二不管是什么类型都选择选左，那么两个参与人都得到 3 的收益。所以这个很容易填。

示例二：左上右

回到原始矩阵：

有 20% 的概率他们会落在左边矩阵的左上部分（参与人二为利己型）；
有 80% 的概率他们会落在右边矩阵的右上部分（参与人二为囚徒困境型）。

推导：如果我们要计算参与人一的期望收益，那么有 20% 的概率他得到 3 的收益，有 80% 的概率他得到 0 的收益，所以：

参与人一收益 = 0.2×3 + 0.8×0 = 0.6
参与人二收益 = 3×0.2 + 2×0.8 = 0.6 + 1.6 = 2.2

示例三：左下右

不管参与人二是什么类型，参与人一都会采取选下的策略，这意味着我们处在两个矩阵的右下角。在这种情况下，不管参与人二是什么类型，参与人一都得到 1 的收益，所以参与人一的收益就是固定的 1。

而参与人二则是：0.2×2 + 0.8×1 = 0.4 + 0.8 = 1.2。

易错点： 计算收益时，一定要注意概率的对应关系——0.2 对应利己型，0.8 对应囚徒困境型。概率与收益的配对一旦搞反，整个矩阵就会算错，后续的纳什均衡和贝叶斯纳什均衡也会随之出错。

思考：这里参与人二的期望收益计算，实际上是在对「参与人二作为利己型时的收益」和「作为囚徒困境型时的收益」做加权平均。权重就是类型的概率分布。

七、求解纳什均衡：剔除严格劣策略 [08:47]

要点总结：

囚徒困境型有一个被占优的策略：如果他是囚徒困境型，他绝不会想要选左。
左左被右左严格占优：3.2 > 3.4 > 0.2（原文数据），意味着右左严格占优左左。
左右被右右严格占优：2.4 > 2.2，1.2 > 1。
剔除后剩下一个 2×2 的博弈。

详细说明：

现在来看如何求解这个博弈的纳什均衡。之前让大家记住的信息——囚徒困境型有一个被占优的策略，如果他是囚徒困境型，他绝不会想要选左——这一点反映在前两列里。

第一步：左左被右左严格占优

在前两列里，参与人二作为囚徒困境型选择了选左。如果这个博弈要体现出「囚徒困境型绝不会想要选左」这个事实，那么在我们构造的新博弈里，这两个策略就应该仍然是被严格占优的。而事实上它们确实如此。

推导：比较左左和右左这两列。这里我们看到 3.2 > 3.4 > 0.2（原文数据），这意味着右左严格占优左左。

如果你想一想为什么会这样，那你大概就会开始认同——这是一种完全可行的求解贝叶斯纳什均衡的方法。尽管纳什均衡没有多种类型，而贝叶斯纳什均衡有，我们实际上通过为参与人二在列上采用这些多重策略（也就是左左对右左）绕开了这个问题。

那里唯一不同的，就是第一列里囚徒困境型的策略，而在第三列里利己型选择了选左。这意味着利己型的收益从第一列到第三列不会发生变化，唯一会变的就是囚徒困境型的收益，因为囚徒困境型在一种情况下选左、在另一种情况下选右。而我们之前就知道选右严格优于选左，所以选右会给囚徒困境型带来严格更高的收益。这就体现在现在右左严格占优左左这个事实上。

这就是为什么这套运用纳什均衡的方法能够确保没有任何类型存在有利可图的偏离——因为如果我们要为某个特定类型选择有利可图的偏离，我们可以比较那些保持其他类型策略不变的列，然后只比较某个特定类型参与人的收益情况。

由于左左被右左严格占优这个事实，我们就可以像平常一样使用迭代剔除严格占优策略，而左左被剔除掉。

第二步：左右被右右严格占优

现在我们得到了一个更小的博弈，但我们还可以再往前走一步。左右也应该被严格占优，但它不会被右左严格占优，因为在那时把两个参与人（或者说两种类型）的策略都翻转过来了。真正会占优左右的是右右。

推导：这是因为我们通过保持利己型的策略不变，从而保持了利己型收益不变。在原来博弈的第二列和第四列里，利己型都选择了选左，唯一不同的就是囚徒困境型的策略从左切换到了右。而选右给囚徒困境型带来的收益会严格高于选左，果然 2.4 > 2.2，1.2 > 1。这意味着我们可以排除掉左右这个选项。

考点：剔除劣策略的逻辑

比较两列时，只关注「两种类型策略不同的那个类型」的收益变化；

保持另一种类型的策略不变，从而保持其收益不变；

如果某个类型在某一列中严格偏好另一个策略，那么该列就是被严格占优的。

第三步：剩下 2×2 博弈

最后只剩下这个 2×2 的博弈。到这里就不存在更多的被支配策略了。

八、求解 2×2 博弈：纯策略与混合策略均衡 [11:47]

要点总结：

2×2 博弈的纳什均衡：标注最佳回应，左上角结果中存在互为最佳回应。
纯策略贝叶斯纳什均衡：玩家一选上，玩家二作为囚徒困境型选右、作为利己型选左。
另一个纯策略均衡：右下角结果（下右右），玩家一选下，玩家二两种类型都选右。
混合策略贝叶斯纳什均衡：玩家一以 1/2 概率选上；右左以 5/8 概率被采用，右右以 3/8 概率被采用。
实际上囚徒困境型采用纯策略（总是选右），只有利己型在混合。

详细说明：

如果你愿意自己花点时间，其实很容易就能算出一个 2×2 博弈的纳什均衡。所以如果你把最佳回应标出来，得到的就是这个结果。

注意：如果一个博弈只有两个纳什均衡，你就该担心自己是不是漏掉了什么，因为大多数（实际上几乎所有的）博弈均衡数量都是奇数。所以你应该去寻找混合策略中的均衡。

混合策略贝叶斯纳什均衡：

玩家一以 1/2 的概率选择上；
右左以 8 分之 5 的概率被采用，右右以 8 分之 3 的概率被采用。

这里有个极妙的地方：注意在列出的前两个策略中，「右」是完全相同的。这意味着求囚徒困境类型在这个混合策略中、在这个混合策略贝叶斯纳什均衡中，那个囚徒困境类型始终都在选择右，只有利己类型在混合——8 分之 5 的时间里利己类型选择左，8 分之 3 的时间里利己类型选择右。

所以实际上囚徒困境类型采用的是纯策略，玩家二中只有利己类型在混合。

易错点： 不要把「混合策略均衡」误解为「所有类型都在混合」。在这个均衡中，囚徒困境型始终采用纯策略（选右），只有利己型在混合。这是贝叶斯博弈中混合策略均衡的一个典型特征。

九、重要预告：混合策略的另一种解释 [15:47]

要点总结：

从玩家一的角度看，玩家二好像是在混合（有时选右有时选左）。
但实际上这些类型本身并没有在混合，它们采用的是纯策略。
这预告了本单元后面的内容：纳什均衡和混合策略的一种替代解释是——不是玩家真的在混合，而是同一个玩家存在多种类型，每种类型都在采用纯策略，但由于存在无法观察到的不确定性，看起来就好像是单个玩家在混合。

详细说明：

关于这里的情况还有最后一点要注意：

想象一下我们出现了这个特定的结果——这是一个贝叶斯纳什均衡：玩家一选择上，玩家二作为囚徒困境型选择右、作为利己型选择左。

从玩家一的角度看，玩家二好像是在混合——它似乎有时选右有时选左。但这些类型本身并没有在混合，他们采用的是纯策略。只不过从玩家一的角度看，我们看到的好像是在混合。

思考：这其实是在预告本单元后面会遇到的内容。到时候我们会发现，纳什均衡和混合策略的一种替代解释是：并不是玩家真的在混合，而是同一个玩家存在多种类型，而每一种类型都在采用纯策略。但由于存在某种我们无法观察到的不确定性，看起来就好像是单个玩家在混合，而不是多种类型在采用纯策略。

拓展：混合策略的「类型」解释 在标准纳什均衡中，混合策略被解释为玩家随机化自己的行动。但在贝叶斯博弈的视角下，混合策略可以被重新解释为：玩家实际上是在确定性地行动，但由于观察者无法知道玩家的真实类型，从观察者的角度看就像是玩家在随机化。这一洞见对于理解不完全信息博弈中的混合策略非常重要，也是后续课程的核心内容之一。

十、课程总结与后续预告 [17:00]

要点总结：

本讲讲了如何用纳什均衡来求解矩阵博弈的贝叶斯纳什均衡。
还有很多其他类型的不完全信息博弈无法方便地用矩阵表示。
本单元后面的课程将研究如何求解这类博弈，即寻找贝叶斯纳什均衡的其他方法。

详细说明：

这一讲到此结束。我们讲了如何用纳什均衡（准确地说，是用纳什均衡）来求解这些矩阵博弈的贝叶斯纳什均衡。

还有很多其他类型的不完全信息博弈，我们没法那么方便地用矩阵来表示，所以在本单元后面的课程中，我们要研究的就是如何求解这类博弈——也就是寻找贝叶斯纳什均衡的其他方法。

希望你喜欢这节课，我们下次再见。

关键概念解释

概念	解释
贝叶斯纳什均衡（Bayesian Nash Equilibrium）	不完全信息博弈中的解概念。每个参与人的策略是其在每种可能类型下的最优行动，且给定类型概率分布和其他参与人的策略，没有参与人愿意偏离。
不完全信息博弈	至少有一个参与人不确定其他参与人的收益（或类型）的博弈。与之相对的是「不完美信息博弈」，指的是参与人不确定之前发生的行动。
类型（Type）	参与人的私人信息，决定了其收益函数。在本例中，参与人二有两种类型：囚徒困境型和利己型。
严格占优策略（Strictly Dominant Strategy）	无论其他参与人选择什么，该策略的收益都严格高于其他任何策略。在本例中，囚徒困境型的「选右」是严格占优策略。
迭代剔除严格占优策略（Iterated Elimination of Strictly Dominated Strategies）	反复剔除被严格占优的策略，直到没有可剔除的策略为止。这是求解纳什均衡的常用方法。
混合策略（Mixed Strategy）	参与人以一定概率随机选择多个纯策略。在贝叶斯博弈中，混合策略可能只出现在某些类型上。
最佳回应（Best Response）	给定其他参与人策略的情况下，能使自己收益最大化的策略。纳什均衡就是所有参与人都互为最佳回应的策略组合。

容易踩坑的点

坑点一：概率与类型的对应关系 0.2 对应利己型，0.8 对应囚徒困境型。计算期望收益时，一旦概率与收益配对搞反，整个矩阵就会算错，后续均衡也会跟着错。

坑点二：合并矩阵时策略列的含义 左左、左右、右左、右右四列的含义必须清楚：左左 = 两种类型都选左；左右 = 只有囚徒困境型选左；右左 = 只有利己型选左；右右 = 两种类型都选右。搞混列的含义会导致收益计算错误。

坑点三：剔除劣策略时只比较「变化的那一类型」的收益 比较两列时，保持另一种类型的策略不变，只关注策略发生变化的那个类型的收益。不要被另一种类型的收益不变所干扰。

坑点四：均衡数量通常为奇数 如果只找到两个纯策略纳什均衡，很可能漏掉了混合策略均衡。大多数博弈的均衡数量是奇数，所以需要检查是否存在混合策略均衡。

坑点五：混合策略均衡中并非所有类型都在混合 在本例的混合策略贝叶斯纳什均衡中，囚徒困境型始终采用纯策略（选右），只有利己型在混合。不要把「混合策略均衡」等同于「所有类型都随机化」。