博弈论 101 第 58 讲：等比数列与无限收益

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视频元信息

主讲：William Spaniel
主题：等比数列求和公式推导，以及无限期收益序列的现值计算
时长：约 7 分钟

内容摘要（TL;DR）

本期讲解如何用等比数列求和公式，把带省略号的无限收益序列化简为 X/(1−δ) 的封闭形式，并补充去掉首项、只取奇数期、只取偶数期三种变体公式，为后续求解无限期重复博弈（如无限期囚徒困境）做准备。

一、问题的提出：无限收益序列无法直接比较 [00:00]

上一讲讨论了"未来的贴现"（discounting the future）。
设定：如果每个阶段都获得收益 X，那么今天得到 X，明天得到 δX，后天得到 δ²X，依此类推。
收益序列写作：X + δX + δ²X + δ³X + …（无限延续）。

核心痛点：博弈论中必须把一个策略的收益与另一个策略的收益进行比较，才能判断哪个更好。但式子里飘着一堆省略号时，无法明确比较两个收益。

因此本讲的目标就是：把这个省略号消掉，得到一个封闭形式的表达式。
屏幕上出现的这个序列就叫等比数列（geometric series），它有一些非常好的收敛性质，正是我们要利用的工具。

理解：这一讲本质上是为重复博弈做数学工具准备。无限期博弈的收益是无限项之和，不化简就无法与"背叛一次拿高收益"这类有限收益做比较，也就无法判断合作是否可持续。

二、先处理有限项：前 N 项收益之和 [00:58]

策略：先不去想无限序列，而是暂时考虑前 N 项收益的总和，最后再取极限回到无限序列。
这样就不用写省略号，而是用一个确定的项收尾。
最后一项是 δ^(N−1)·X，所以前 N 项收益表达式为：

S = X + δX + δ²X + … + δ^(N−1)X

其中 S 就是我们关心的前 N 个收益的总和。
目标：找到一种更简单的写法，不用写一大堆项、不用写乱糟糟的 N 个项。

思考：把无限问题转化为"有限 + 取极限"是数学中处理无穷的通用套路。先求部分和的通项公式，再令 N→∞，这样每一步都是有限的、可验证的代数操作。

三、推导过程：错位相减法 [01:43]

3.1 等式两边同乘 δ

代数法则允许等式两边同时乘以同一个数，等式仍然成立。
把第一行两边都乘以 δ，得到第二行：

δS = δX + δ²X + δ³X + … + δ^N·X

于是原来的 S 变成 δS，原来的 X 变成 δX，原来的 δX 变成 δ²X，以此类推。
表面看没什么用，但关键在于：上面一行和下面一行的右边有很多相同的项。

3.2 两式相减，消掉重叠项

代数法则同样允许在等式两边同时减去同一个值，等式仍然成立。
用第二个等式的左边减去第一个等式的左边，右边也做同样的减法：

S − δS = (X + δX + … + δ^(N−1)X) − (δX + δ²X + … + δ^N·X)

中间那一大堆重叠项全部被消掉，剩下的只有：

S − δS = X − δ^N·X

易错点：相减后剩下的两项是"第一项 X"和"最后一项 δ^N·X（带负号）"。中间项之所以能消掉，是因为两式的项完全错开一位、一一对应。这个技巧叫错位相减法，是等比数列求和的标准方法。

一下子，我们不用再处理 N 个项，剩下的东西相当简单。

3.3 提取公因式，解出 S

在等式两边提取公因式：
- 左边提出 S，剩下 (1 − δ)
- 右边提出 X，剩下 (1 − δ^N)
得到：S(1 − δ) = X(1 − δ^N)
两边同时除以 (1 − δ)，解出 S：

S = X(1 − δ^N) / (1 − δ)

这就是前 N 个收益的总和公式。

考点：有限项等比数列求和公式 S = X(1 − δ^N) / (1 − δ) 其中 X 是首项，δ 是公比（贴现因子），N 是项数。注意：这里分母是 (1 − δ)，因为公比 δ 满足 0 < δ < 1。

这相当了不起：之前有 N 个收益，N 可以任意大（比如 N = 11），但不需要写很多东西就能表示它的值。

四、取极限：无限收益序列 [04:06]

4.1 令 N 趋于无穷大

回到最初的问题：无限序列等于多少？通过取极限求解。
观察公式 S = X(1 − δ^N) / (1 − δ)，其中含 N 的只有 δ^N 这一项，这是 N 唯一出现的地方。
关键问题：当 N → ∞ 时，δ^N 会怎样？

4.2 δ^N 的极限

δ 是 0 到 1 之间的某个数（贴现因子）。
以 δ = 1/2 为例，不断相乘：
- 1/2 → 1/4 → 1/8 → 1/16 → 1/32 → 1/64 → 1/128 → 1/256 → 1/512 → …
结果越来越接近 0。
结论：当一个 0 到 1 之间的数的指数趋于无穷大时，其结果趋于 0。
所以 δ^N 可以完全消掉（δ^N → 0）。

考点：贴现因子 δ 的取值范围 0 < δ < 1。δ 越接近 1，表示越有耐心、越看重未来；δ 越接近 0，表示越短视、只在乎当下。这个范围是 δ^N → 0 成立的前提条件。

4.3 无限收益序列求和公式

当 N → ∞ 时，无限收益序列（收益级数）的总和变得非常简单：

无限收益序列总和 = X / (1 − δ)

含义：拿最初的收益 X（也就是每个阶段都得到的那个收益）除以 (1 − δ)。

理解：这个公式的直觉是——无限项之和之所以有限，是因为贴现因子 δ 让远期收益不断缩水，形成一个收敛的"收益流"。分母 (1 − δ) 可以理解为"耐心程度的放大倍数"：δ 越接近 1，分母越小，总现值越大。

这相当了不起：我们有一个无限的收益序列，却只需要 3 个数字（X、δ、1）就能把它表示出来。
往后会经常用到这个公式。

五、其他常用公式（求解重复博弈必备） [05:43]

在求解重复博弈时，还有一些其他公式也应该了解。以下公式视频未给出证明，可作为练习自行推导。

5.1 去掉第一个收益之后的无限序列总和

δX / (1 − δ)

即从第二期开始的无限收益之和。
视频提示：这个很容易推导出来，看完视频后可以做个练习想想为什么。

推导提示：去掉首项后，序列变为 δX + δ²X + δ³X + …，提取公因式 δ 得 δ·(X + δX + δ²X + …) = δ·[X/(1−δ)] = δX/(1−δ)。

5.2 只取奇数期的无限收益序列总和

X / (1 − δ²)

X 即那个"基础收益"（视频中称为"机转质"，应为"基础值"的口误/转录误差）。
分母是 (1 − δ²)，而不是 (1 − δ)。

5.3 只取偶数期的无限收益序列总和

δX / (1 − δ²)

分母同样是 (1 − δ²)。

易错点：奇数期与偶数期公式的分母都是 (1 − δ²)，不是 (1 − δ)。 原因：只取奇数期（或偶数期）相当于把"步长"变成 2 期，公比变为 δ²，因此求和公式中的 δ 全部替换为 δ²。奇数期首项是 X（第 1 期），偶数期首项是 δX（第 2 期）。

推导提示（奇数期）：X + δ²X + δ⁴X + …，公比为 δ²，首项为 X，套用公式得 X/(1−δ²)。 推导提示（偶数期）：δX + δ³X + δ⁵X + …，公比为 δ²，首项为 δX，套用公式得 δX/(1−δ²)。

视频指出：最后这两个公式（只取奇数期、只取偶数期）推导起来会稍微复杂一些，但这正好是个不错的挑战。

六、公式汇总表

情形	序列形式	求和公式
前 N 项（有限）	X + δX + … + δ^(N−1)X	X(1 − δ^N)/(1 − δ)
无限序列（全部期）	X + δX + δ²X + …	X/(1 − δ)
去掉首项后的无限序列	δX + δ²X + δ³X + …	δX/(1 − δ)
只取奇数期	X + δ²X + δ⁴X + …	X/(1 − δ²)
只取偶数期	δX + δ³X + δ⁵X + …	δX/(1 − δ²)

记忆要点：所有公式的分母都是 (1 − 公比)。全部期和去掉首项的公式公比是 δ；只取奇数期/偶数期的公式公比是 δ²。分子是"首项"。

七、总结与下一讲预告 [06:33]

关于等比数列的内容到这里就讲完了。
现在已经知道怎么快速计算一个无限收益序列。
很快就能把这节课的内容应用起来：搞清楚在无限期囚徒困境中，收益是什么样子的。
但在那之前，下一讲会介绍一个小技巧，能让求解这些重复博弈变得容易很多——这个技巧会在关于一次性偏离原则（one-shot deviation principle，视频中转录为"一次性天理原则"）的内容中学习。
之后就会着手求解这些无限期博弈。

思考：本讲是纯工具课，公式本身不难，但它是后续所有无限期重复博弈分析的地基。判断"合作是否可持续"的核心比较，就是"一直合作的现值 X/(1−δ)"与"背叛一次的高收益 + 之后惩罚阶段的现值"之间的大小关系，而后者往往要用到去掉首项或只取部分期的公式。