博弈论 101 第 55 讲：风险偏好

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视频元信息

主讲人：William Spaniel（匹兹堡大学）
系列：博弈论 101（Game Theory 101）
本集主题：风险偏好（Risk Preferences）
所属单元：期望效用理论（Expected Utility Theory）收尾
下一集预告：重复博弈（Repeated Games）

内容摘要（TL;DR）

本集用一道「彩票选择题」把人的风险态度分为三类：风险中性（X=50万）、风险厌恶（X<50万）、风险偏好（X>50万）。核心结论是：收益数字本身不等于偏好，必须先把金钱转换成效用（用幂函数 X^a 建模），再放进博弈矩阵。作者还以自己5年前后答案从30万变40万为例，说明财务状况会改变风险承受度。

一、开场互动问题：两道彩票 [00:00]

欢迎回到博弈论 101，我是 William Spaniel，今天的话题是风险偏好。

彩票一（Lottery 1）：有一半概率什么都不给你，另一半概率给你 100 万美元。

彩票二（Lottery 2）：一种退化彩票（degenerate lottery），确定性地给你 X 美元。

核心提问：X 等于多少时，你会对这两张彩票「无所谓」（indifferent）？

如果 X = 0，你显然更偏好彩票一。
随着 X 变大，彩票二越来越有吸引力。
如果 X = 100 万，几乎所有人都会选彩票二。

判断规则：

若你给出的「无所谓点」X 小于你实际报出的值 → 你偏好彩票一。
若 X 大于你报出的值 → 你偏好彩票二。

理解：这本质上是在测你的「确定性等值」（certainty equivalent）——即你愿意用多少确定金额，换取一个期望值为 50 万的赌博。

二、三类风险态度 [01:09]

1. 风险中性（Risk Neutral）[01:12]

彩票一的期望值 = 0.5 × 0 + 0.5 × 1,000,000 = 50 万美元

如果你回答 X = 50 万美元，你就是风险中性。
含义：你只想最大化期望值，对风险本身无所谓。
历史数据：大多数人报的都是 50 万美元，属于这一类。

考点：风险中性的判定标准就是「确定性等值 = 期望值」。

2. 风险厌恶（Risk Averse）[01:44]

如果你回答 X < 50 万美元，你属于风险厌恶。
含义：你对每一块新增的钱，看得都比上一块更重（边际效用递减）。

直觉解释：

现在给你 1000 美元，你的生活改善很大（假设你还不是千万富翁）。
如果你已有 1000 万美元，再给你 1000 美元，几乎帮不了你什么。

理解：这就是经济学中「边际效用递减」的博弈论表达——钱越多，每多一块钱带来的额外快乐越少。

现实案例：保险 [02:34]

保险业就是靠风险厌恶活着的。
买保险（医疗、车险、房主险）从期望上看你一定是亏钱的。
但你心甘情愿付这个损失，因为存在灾难性后果：撞车、房子烧毁、得癌症。
你买保险是为了平滑结果：让极糟的结果变得没那么糟，只是「有点惨」。

作者自述 [03:17]

William Spaniel 自己属于风险厌恶，本集回答 X = 40 万美元。
有趣对比：5 年前（2011 年）同样的问题，他回答的是 X = 30 万美元。
原因分析：
- 5 年前他还是研究生，财务前景不确定，不知道自己能否当上教授。
- 现在他是博士后，已通过博士答辩，明年有助理教授职位，财务上安稳多了。
- 因此他更愿意承受风险 → 需要更高的 X 才愿意选确定选项。

易错点：风险偏好不是固定的人格特质，会随个人财务状况、安全感变化而改变。

3. 风险偏好（Risk Loving）[04:23]

如果你回答 X > 50 万美元，你属于风险偏好（也叫风险爱好、风险寻求）。
含义：你对每一块新增的钱，看得都比上一块更重（边际效用递增）。
实验数据：这类人非常非常少。
作者评价：风险偏好的行为像「一个有强迫症的赌徒」，面对这么高的赌注，很少有人愿意表现出这种偏好。

三、用效用函数建模风险态度 [04:56]

核心问题：能否用效用函数表示这些风险态度？答案：可以，而且非常容易。

常见建模方法：幂函数（指数）

风险态度	效用函数	参数范围
风险中性	u = X	—
风险厌恶	u = X^a	0 < a < 1
风险偏好	u = X^a	a > 1

风险厌恶的细节 [05:16]：

a 是 0 到 1 之间的某个数。
当指数小于 1 时，指数函数表现得像一个「更好函数」（凹函数）。
a = 1/2 → 相当于对 X 开平方。
a = 1/3 → 相当于对 X 开立方。
a 越小，越厌恶风险。
a 越接近 1，越接近风险中性；当 a = 1 时，u = X，就是风险中性。

风险偏好的细节 [05:53]：

同样用 u = X^a，但现在 a > 1。
就像普通指数函数那样运作（凸函数）。

考点：幂函数 u = X^a 中，a<1 为风险厌恶，a=1 为风险中性，a>1 为风险偏好。

思考：这里用的是「常相对风险厌恶」（CRRA）效用函数的简化形式。严格来说标准形式是 u(X) = X^(1-γ)/(1-γ)，其中 γ 是相对风险厌恶系数。视频为了教学做了简化，只保留 X^a 的形式。

四、图形直观理解 [06:06]

三条曲线（横轴 X = 引到的钱数，纵轴 Y = 效用）：

红色线（风险中性）：
- u 随 X 线性增长。
- 函数没有任何弯曲，效用直接等于钱数。
紫色线（风险厌恶）：
- 仍然增长，但增长速度越来越慢（凹函数）。
- 一开始引到的钱，相比之后（已经引了一些钱时），会带来更大的幸福感提升。
蓝色线（风险偏好）：
- 运作方式正好相反（凸函数）。
- 一开始钱带来的效用不多，但随着钱数上升，幸福感增长得甚至更快。
- 作者用「从 0 到 1 和从 1 到 2 的效用差」来演示：风险偏好者在 1→2 处的效用跳得非常高，甚至看不到跳到了多高。

记忆口诀：风险厌恶 = 凹函数（先陡后平）；风险偏好 = 凸函数（先平后陡）；风险中性 = 直线。

五、如何把风险偏好纳入博弈 [07:05]

关键结论：直接纳入非常容易，公理上没有任何障碍。

完备性、传递性、彩票的独立性、连续性——这些期望效用的公理都不阻止风险偏好。
期望效用的目标：不再把结果当成结果，而是把它们看成「你对这些结果有多满意」。
别再想「1 美元、20 美元、50 美元」，而是开始想「如果你赢了 1 美元、20 美元、50 美元或 100 美元，你有多开心」。

具体操作示例：

假设一个博弈中，玩家一的收益是美元数字。

如果我们直接把美元数字写成效用 → 隐含假设玩家一是风险中性。
如果玩家一其实是风险厌恶的，且他的效用恰好是「对美元开平方」能准确表示偏好：
- 不应直接用蓝色数字。
- 应该对这些数字开平方，把结果放进博弈矩阵。
玩家二如果是风险偏好的，同理：
- 不应用红色数字。
- 应该用效用（例如对钱数开平方，或按 a>1 的幂函数处理）。

核心原则：当我们在矩阵或博弈树里放数字时，那就是偏好的全部。写收益前必须确保数字准确表示了偏好。

理解：这是本集最重要的实践提醒——先做效用转换，再建模型。一旦转换完成并放进矩阵，之后就不必再反复纠结风险态度问题。

六、课程收尾与预告 [08:30]

本集结束了「风险偏好」这一课。
也讲完了整个期望效用理论单元。
下次开始讲重复博弈（Repeated Games）：
- 会看到关于囚徒困境和重复囚徒困境的精彩内容。
- 核心问题：两个参与者如何在一次性囚徒困境中总是互相背叛的情况下，通过重复互动产生合作？

下集考点预告：重复囚徒困境中的合作机制。

关键标签 / 关键词

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拓展补充【拓展】

1. 确定性等值（Certainty Equivalent）的正式定义 确定性等值是指：使决策者在「确定得到该金额」与「参与某个风险赌博」之间无差异的那个金额。风险厌恶者的确定性等值 < 赌博期望值；风险偏好者则相反。本集的 X 就是确定性等值。

2. 为什么用幂函数而不是对数函数 视频用 u = X^a 建模，是 CRRA（常相对风险厌恶）效用函数的简化。经济学中也常用对数效用 u = ln(X)（属于 a→0 的极限情形）和指数效用 u = -e^(-γX)（CARA，常绝对风险厌恶）。不同函数形式对应不同的风险厌恶假设，选择哪种取决于研究问题。

3. 圣彼得堡悖论（St. Petersburg Paradox） 这是期望效用理论的经典起源问题：一个期望值为无穷大的赌博，人们却只愿意付很少的钱参与。贝努利提出用「效用的期望」而非「金钱的期望」来解释，正是本集所讲思想的源头。

4. 容易踩的坑