博弈论 101 第 53 讲：期望效用变换

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视频元信息

系列：博弈论 101（Game Theory 101），第 54 讲（p54），主题为「期望效用变换」
主讲人：William Spaniel
时长：约 7–8 分钟
语言：原视频英文，本视频为中英双语字幕版
核心关键词：期望效用、冯·诺依曼-摩根斯坦效用、正仿射变换、偏好排序、纳什均衡

内容摘要（TL;DR）

本讲说明：只要一个人的偏好满足完备性、传递性、独立性和连续性四个公理，就可以用数值效用来表示这些偏好。效用表示不唯一，任意正仿射变换（a·U + b，a > 0）都保持偏好排序与纳什均衡不变。只有正仿射变换是等价的，其他变换会破坏偏好。

一、回顾与引入：期望效用理论的四个公理 [00:00]

欢迎回到博弈论 101，我是 William Spaniel，今天的话题是期望效用变换。
我们已经讲过期望效用理论所需要的四个公理：
- 完备性（Completeness）
- 传递性（Transitivity）
- 独立性（Independence）
- 连续性（Continuity）
现在来看看能用它做什么。其实挺简单的：假设某个人的偏好满足这四个公理，那么我们就可以用数值（效用）来表示这些偏好。

考点：四个公理是期望效用表示存在的充分条件。 只要满足这四个公理，就一定能找到一组数值效用来忠实反映偏好。

理解：这四个公理是期望效用理论的基石，它们保证了偏好可以被“量化”。没有它们，效用表示可能不存在或不一致。

二、历史背景：冯·诺依曼-摩根斯坦期望效用 [00:23]

这个结论相当古老，可以追溯到 1947 年，比 John Nash 还要稍微早一些。
该结论由两位学者 Vogue Newman（冯·诺依曼，von Neumann） 和 Morgan Stern（摩根斯坦，Morgenstern） 发现。
因此，如果你听到有人把期望效用叫做 冯·诺依曼-摩根斯坦期望效用，原因就在这里——正是这两位发现了我们可以用这种方式来表示偏好。

注意： 转录中的“Vogue Newman”和“Morgan Stern”是语音识别错误，正确拼写为 von Neumann 和 Morgenstern。这是博弈论与经济学中极其重要的历史人物。

【拓展】冯·诺依曼（John von Neumann）是20世纪最伟大的数学家之一，摩根斯坦（Oskar Morgenstern）是经济学家。他们 1944 年合著的《博弈论与经济行为》（Theory of Games and Economic Behavior）奠定了博弈论的基础。期望效用理论则是他们 1947 年正式提出的。

这里发生的事情几乎有点像变戏法，但事实证明，它对我们真的非常有用。这也是我在整个单元里一直暗示过的东西。

三、从偏好到数值：以猎鹿博弈为例 [00:56]

冯·诺依曼和摩根斯坦想说的是：如果我们有一个像这样的策略互动，这就是一个猎鹿博弈（Stag Hunt）。
由此会产生四种不同的结果，我把它们标记为退化彩票（degenerate lotteries） 1、2、3、4。
与其去考虑这些彩票上的偏好，比如：
- 个体 1 更偏好“猎鹿-猎鹿”彩票 1，而不是彩票 2；
- 他还更偏好彩票 1，而不是彩票 3；
- 而且在这些退化彩票之上，还存在某种关于彩票的偏好。
与其用那种方式去考虑偏好，我们不如改用数字。我们可以找到一些数字，它们能够忠实地反映这些关于彩票的偏好。

易错点：这并不意味着我们可以随便选任何数字。 不同的数字设定可能代表不同的偏好。例如，如果把玩家 1 在“猎鹿-猎鹿”结果上的效用改掉，这就代表了在原来的退化彩票上一组不同的偏好。

理解：效用数值不是任意的，它必须“忠实”于偏好排序。改数字可能改偏好，所以不能乱改。

但尽管如此，总会存在某种数字的设定方式，能够完全按照我们希望的那样来表示这些偏好。

四、效用表示不唯一：无穷多种表示方式 [01:18]

不过对这个定义要小心一点：我说的是“我们可以用数值效用来表示这些偏好”，但我并没有告诉你我们能用多少种。
事实上，我们可以用无穷多种。
尽管这两个博弈是不同的（这个博弈和那个博弈不一样），它们代表的是关于彩票的不同偏好。
但如果我们取一组固定的偏好，那么用效用来表示这组偏好的方式就有无穷多种。
所以当我们说“存在”的时候，这只是说存在一种；而且它不仅仅是一种，而是无穷多种。

考点：效用表示的不唯一性。 同一组偏好可以有无数种效用表示，它们之间通过正仿射变换相互联系。

思考：这与“温度可以用摄氏度或华氏度表示”类似——不同的数值刻度可以表示同一个物理事实。效用也是如此，重要的是排序，而不是绝对数值。

五、正仿射变换：定义与形式 [02:32]

那么期望效用其实等同于一种叫做正仿射变换（positive affine transformation）的东西。
正仿射变换的形式是：a·U + b
- 其中 U 是效用
- a 是某个正数（a > 0）
- b 是任意实数
它之所以叫正仿射变换，是因为它的形式是“某个数乘以效用，再加上另一个数”，这就是仿射。
而 a 被限制为一个严格正数（a > 0），所以它才被称为正的仿射变换。

易错点：a 必须严格大于 0。 如果 a ≤ 0，变换就不再保持偏好排序。

【拓展】仿射变换（affine transformation）是线性变换加上平移。在效用理论中，正仿射变换保持偏好序不变，这是期望效用函数的一个重要性质。

六、为什么正仿射变换保持偏好：代数证明 [03:16]

假设我们有表示某个人某种偏好的效用 U₁ 和效用 U₂。
U₁ > U₂ 意思是：与结果 1 相关的彩票，比效用 2 对应的结果（或结果彩票）更好。
现在考虑正仿射变换：把每种情况下的效用都乘以 a，然后再加上 b。
- 于是我们就有了 a·U₁ + b 以及 a·U₂ + b。
那么这个人是否仍然更偏好第一个结果（效用 1），而不是效用 2 呢？
事实正明（证明）：只要你做一点代数运算，就很容易证明：
1. 我们可以从两边同时减去 b；
2. 然后再把所有项都除以 a；
3. 最后就剩下 U₁ > U₂。
所以这个人仍然更偏好左边所对应的结果，而不是右边所对应的结果。

推导： a·U₁ + b > a·U₂ + b 两边减 b：a·U₁ > a·U₂ 两边除以 a（a > 0，不等号方向不变）：U₁ > U₂ 得证。

七、为什么必须用正仿射变换：反例分析 [04:06]

这也解释了为什么我们必须使用正仿射变换。记住 a 必须是某个大于零的数，这样我们才能把两边都除以 a，而不用对不等式做什么奇怪的操作。
如果 a 是一个负数：实际上会把不等号翻转过来，以至于现在这个人会更偏好效用 2 对应的结果，而不是效用 1 对应的结果。
如果 a 等于零：这也是正仿射变换所不允许的，那么我们就会得到一个“零实际上等于零”的不等式，所以那也会破坏原来的偏好，也就是 U₁ > U₂ 这个偏好。

易错点总结：

a > 0：保持偏好排序 ✅

a < 0：翻转偏好排序 ❌

a = 0：破坏偏好排序 ❌

b 任意实数：不影响排序 ✅

理解：a 是“缩放因子”，b 是“平移因子”。缩放因子必须为正，才能保持“谁大谁小”的关系；平移因子不影响大小关系，所以可以是任意实数。

八、实例演示：对猎鹿博弈做正仿射变换 [04:42]

这意味着表示任何一个特定博弈的方式都有很多种。
想想这个最初的猎鹿博弈，我们之前见过它。
想象一下我们对玩家 1 做一个正仿射变换，让 a = 2，b = 0。
本质上我们把玩家 1 的收益全部翻倍：
- 3 变成了 6
- 2 变成了 4
- 1 变成了 2
- 0 乘以 0（或者说 0 乘以 2）仍然是 0
这和之前的博弈完全一样，我们只是找到了另一种表示某个人偏好的方式而已。
我们并不直接关心效用本身，它们只是让我们更容易分析一个博弈。
而只要我们用正仿射变换，我们就能保持忠实于这个人原来的偏好。

考点：翻倍收益（a=2, b=0）不改变博弈的均衡。 这是正仿射变换的一个特例。

思考：这解释了为什么在博弈论中，我们常常可以“简化”收益数字（比如都除以 10 或都加上 100），而不影响分析结果。

九、验证：解原博弈与变换后博弈的纳什均衡 [05:29]

如果你不相信我，那就试着解一下原来的博弈：
- 解出它的两个纯策略纳什均衡；
- 再解出它的混合策略纳什均衡。
然后对这个博弈做完全一样的事情：
- 解出它的两个纯策略纳什均衡；
- 解出它的混合策略纳什均衡。
这两者都会是完全一样的。
这个博弈的均衡会和这个博弈的均衡完全相同。
这是因为，再说一次，这些效用始终忠实于原来关于结果以及那些结果相关彩票的偏好排序，而这正是均衡归根结底所要表达的东西。

核心结论：正仿射变换保持纳什均衡不变。 纯策略均衡和混合策略均衡（包括混合概率）都完全相同。

理解：纳什均衡只依赖于偏好的相对排序，而不依赖于效用的绝对数值。正仿射变换保持排序，所以均衡不变。

十、变换的操作规则：必须对单个玩家的所有效用做变换 [06:03]

记住在这两个博弈之间，我把所有效用都乘以了同一个数，也就是同一个 a。
所以当你转换效用、做这类变化的时候，你必须对单个玩家的每一个效用都做变化。
你不必对两个玩家都做，但在这个例子里对玩家 1，我必须把这个变化应用到每一个结果上。
如果你不这么做，那你就没有忠实于原来的偏好，这样一来你就不会得到同一个博弈了。

易错点：变换必须“一致地”应用于同一个玩家的所有效用。 不能只改一部分，否则会改变偏好排序，从而改变均衡。

理解：这就像给一个人的所有身高数据都乘以 2——如果只改一部分，排序就乱了。效用变换必须对整个玩家的效用向量统一进行。

十一、不同玩家可以做不同的变换 [06:30]

不过你可以对不同玩家做不同的效用变化。
所以我把玩家 1 的效用乘以了 2，我也可以说让 a = 1，b = -1，这样就会得到玩家 2 的这个效用变化。
我本质上只是从玩家 2 的每一个结果收益里都减掉了 1。
这再一次和原来的博弈完全一样，也和我只对玩家 1 的效用做变化后的那个博弈完全一样。
你可以解出这个博弈的纯策略纳什均衡，解出它唯一的混合策略纳什均衡结果，会和我们之前见过的另外两个博弈完全相同。

考点：不同玩家可以独立地进行不同的正仿射变换。 玩家 1 做 a=2, b=0，玩家 2 做 a=1, b=-1，两者互不影响，均衡仍然不变。

【拓展】这一点在博弈论中非常重要，因为它意味着我们可以对每个玩家的效用函数分别进行标准化处理，而不影响博弈的均衡分析。这为后续的“效用归一化”提供了理论基础。

十二、只有正仿射变换才是等价的：其他变换都会改变结果 [07:00]

这就是我们做效用变化的方法，但这只是效用变化的一种类型，也就是这个正仿射变换。
有意思的一点是：所有其他变化都不是等价的。
所以如果你拿这里的博弈，想出某种不遵循正仿射设定的其他效用变化：
- 比如让 a = -1；
- 或者让 a = 0；
- 又或者你把单个玩家的所有效用都平方、立方或者提到四次方；
如果你试着这么做，那就会改变结果：
- 它可能会改变纯策略纳什均衡；
- 它可能会改变混合策略纳什均衡里的混合概率值。
只有这些正仿射变换，才能保持原来偏好的设定。任何其他变化都不会忠实于那些原来的偏好。

考点：正仿射变换是唯一保持偏好排序的变换类型。 非线性变换（如平方、立方）会改变偏好排序，从而改变均衡。

思考：为什么平方会改变偏好？因为平方不是单调递增的（对于负数部分），或者即使对于正数，平方也会改变相对差距。例如 1 < 2，但 1² = 1 < 4 = 2²，排序没变；但如果效用有正有负，平方就会改变排序。更一般地，非线性变换不保持“序数”信息。

十三、总结与下讲预告 [07:30]

那么这就是效用变换。我们可以看到：对于任何一种偏好，都有多种表示方式。
不过这种关系反过来并不成立：我们所拥有的效用只能表示单一种偏好。
但这对我们思考博弈中的效率问题带来了一些有趣的启示，而这正是我们下一讲要讨论的内容，也就是帕累托效率（Pareto efficiency）。
希望你们喜欢这节课，我们下次再见。

本讲核心总结：

满足四个公理的偏好可以用数值效用表示。

效用表示不唯一，有无穷多种。

正仿射变换（a·U + b，a > 0）保持偏好排序和纳什均衡不变。

变换必须对单个玩家的所有效用一致应用。

不同玩家可以独立进行不同的正仿射变换。

只有正仿射变换是等价的，其他变换都会改变结果。

【拓展】下一讲“帕累托效率”将讨论博弈中的效率问题。效用变换的不唯一性引出一个问题：如果我们不能比较不同玩家的效用绝对值，那么如何判断一个结果是否“有效率”？这就是帕累托效率要解决的问题——它只依赖于偏好排序，而不依赖于效用的具体数值。