博弈论 101 第 34 讲（英文原声）：Support of Mixed Strategies

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视频元信息

对应教材：Game Theory 101: The Complete Textbook，第 3.5 课
时长：约 8 分钟
主讲人：William Spaniel
主题：混合策略的支撑集（Support of Mixed Strategies）

内容摘要（TL;DR）

本视频定义混合策略的"支撑集"——被赋予正概率的纯策略集合，并给出混合策略纳什均衡的两条核心条件：支撑集内所有纯策略的期望效用必须相等；支撑集外所有纯策略的期望效用必须小于或等于支撑集内的期望效用。第一条用反证法证明，第二条用直觉论证，为后续求解石头剪刀布等 3×3 及以上博弈打基础。

一、本单元的背景与定位 [00:14]

本单元分为两半：

前半部分：讨论广义收益（generalized payoffs） 的博弈，即变动收益值、观察均衡参数如何随之变化（比较静态分析，comparative statics）。
后半部分（本视频开始）：把混合策略纳什均衡推广到更广泛的语境。

为什么之前没做这件事？因为到目前为止见到的所有混合策略纳什均衡博弈都是 2×2 博弈。

理解：这是课程结构上的"分水岭"——前面所有技巧（混合策略算法）都建立在"每个玩家只有两个纯策略"的假设上，一旦策略数变成 3 个或更多，旧算法直接失效，必须先建立更一般的语言。

2×2 的典型例子：点球博弈（Penalty Kicks）

在之前的视频中，用混合策略算法（mixed strategy algorithm） 求出了点球博弈的混合策略纳什均衡：

射手（striker）以概率 $\frac{1}{1+x}$ 踢左
以概率 $\frac{x}{1+x}$ 踢右

关键点：这两个概率都是正数，说明射手有时踢左、有时踢右，两种纯策略都"真实参与"了这个混合。

二、为什么需要更一般的框架：石头剪刀布 [01:09]

石头剪刀布（Rock-Paper-Scissors） 是经典的反例：每个玩家有 3 个纯策略（石头、纸、剪刀），不是 2×2。

该博弈不存在纯策略纳什均衡。
唯一的纳什均衡要求玩家在三个策略之间混合。

考点：石头剪刀布没有纯策略纳什均衡，唯一均衡是三者等概率混合。 视频说明会在几节课后正式求解该博弈，但前提是先能描述"玩家可以在多少个策略之间混合"——这正是"支撑集"要解决的问题。

思考：石头剪刀布是理解"混合策略必要性"的最佳入门案例。任何固定出招都会被对手针对（出石头→对手出布；出布→对手出剪刀；出剪刀→对手出石头），因此必须随机化，且必须均匀随机化，否则对手可利用概率偏差获利。

三、支撑集的定义 [02:01]

定义：若一个混合策略在该纯策略上赋予正概率，则该纯策略位于这个混合策略的支撑集（support）之中。

换句话说，支撑集 = 所有被赋予正概率的纯策略的集合。

例 1：点球博弈（2×2）

射手以 $\frac{1}{1+x}$ 踢左、$\frac{x}{1+x}$ 踢右，两者均为正。

结论：射手的支撑集 = {踢左, 踢右}，两个纯策略都在支撑集内。

例 2：石头剪刀布中的假设混合策略

假设玩家 2 的策略为：

纯策略	概率
石头	1/2
布	1/2
剪刀	0

剪刀的概率为 0，即从不使用剪刀。
结论：支撑集 = {石头, 布}，剪刀不在支撑集内。

理解：支撑集是"实际被使用的策略清单"。概率为 0 的策略虽然形式上还在策略空间里，但不属于这个混合策略的支撑集。

四、核心性质一：支撑集内期望效用必须相等 [03:24]

在任意混合策略纳什均衡中，支撑集内每个纯策略的期望效用必须相等。

与混合策略算法的关系

之前用混合策略算法求解时，其实一直在隐式地使用这条性质：

求解守门员（goalie）的混合策略时，先令射手踢左的期望效用 = 射手踢右的期望效用；
分别计算两者的期望效用，令其相等，解出使等式成立的概率；
这样就保证了无差异（indifference）。

推导：混合策略算法本质上就是"令支撑集内各纯策略期望效用相等，反解出对手的混合概率"。视频指出，如果自己从零重新推导，也会自然得到这个算法——它不是凭空规定的技巧，而是均衡条件的直接产物。

易错点：混合策略算法只适用于"两个策略"的情形。 当策略数超过 2 时，不能简单套用"两两相等"的算法，需要更一般的处理方式（后续视频讲解）。

五、核心性质一的证明（反证法）[04:42]

要证： 在任意混合策略纳什均衡中，支撑集内每个纯策略的期望效用必须相等。

证明思路（反证法）：

假设不成立，即支撑集内存在策略 $x$ 和 $y$，使得 $x$ 的期望效用低于 $y$。
令 $x$ 为支撑集内最差的那个策略。
纳什均衡的定义是：没有任何玩家有有利偏离（profitable deviation）。
但此时存在有利偏离：每当混合策略要求我玩 $x$ 时，我改为玩 $y$ 即可。
- 视频的比喻：假设掷骰子，点数 1、2 时玩 $x$，点数 3、4、5、6 时玩 $y$。
- 我可以把"点数 1、2 玩 $x$"改成"点数 1、2 也玩 $y$"，实际上等于一直玩 $y$。
- 由于 $y$ 的收益严格高于 $x$，这个偏离严格更优。
存在有利偏离 ⇒ 不是纳什均衡 ⇒ 与假设矛盾。
故原命题成立。

理解：这条性质的直观含义是——如果你愿意在某个策略上分配正概率，那它必须"值得"被使用；一旦某个被使用的策略明显更差，理性的做法就是把它从混合中剔除，全部换成更好的那个。

2×2 博弈中的直观验证

在任意 2×2 博弈中，只要把混合概率稍微改动一点点：

立刻出现无差异性的破坏（lack of indifference）；
均衡条件不再满足；
玩家会倾向于一直玩某一个策略，而不是在两个策略间混合。

思考：这说明"无差异"是混合策略均衡的"刀刃"性质——均衡点上玩家恰好无所谓，任何扰动都会让玩家倒向某一侧。

六、核心性质二：支撑集外的期望效用必须不高于支撑集内 [06:44]

在任意混合策略纳什均衡中，不在支撑集内的每个纯策略的期望效用，必须 ≤ 支撑集内每个纯策略的期望效用。

直觉解释

设玩家有三个策略 $x, y, z$：

均衡中玩家在 $y$ 和 $z$ 之间混合（支撑集 = {$y, z$}）；
若 $x$ 的收益严格优于 $y$ 和 $z$ 的混合结果；
那么玩家完全没有理由玩 $y$ 或 $z$——直接一直玩 $x$ 总是更好。

结论：$x$ 会被一直使用，$y$、$z$ 永远不会被使用，因此原来的混合策略不可能是纳什均衡。

考点：混合策略纳什均衡的两个必要条件

支撑集内：所有纯策略的期望效用相等；

支撑集外：所有纯策略的期望效用≤ 支撑集内的期望效用（否则存在有利偏离）。

违反任一条 ⇒ 存在有利偏离 ⇒ 不是纳什均衡。

理解：这两条性质合起来刻画了"为什么玩家愿意混合"：支撑集内的策略彼此无差异（所以愿意随机化），支撑集外的策略都不更好（所以不需要纳入混合）。

七、总结与后续预告 [07:43]

本视频给出"混合策略的支撑集"的完整定义与两条核心均衡条件，是推广混合策略纳什均衡的第一步。
后续将把这些规则应用到具体博弈中。
下一讲预告：一个用于弱占优（weak dominance） 的巧妙技巧。

收尾语： 本视频到此结束，下讲再见。

关键概念速查表

概念	定义/性质
支撑集（support）	混合策略中赋予正概率的所有纯策略的集合
混合策略纳什均衡条件一	支撑集内所有纯策略的期望效用相等
混合策略纳什均衡条件二	支撑集外所有纯策略的期望效用≤ 支撑集内的期望效用
混合策略算法	令支撑集内纯策略期望效用相等，反解混合概率（仅适用于 2 策略情形）
有利偏离（profitable deviation）	能提高收益的偏离；纳什均衡不允许其存在
比较静态（comparative statics）	变动收益参数，观察均衡参数如何变化