博弈论 101 第 14 讲：无穷多个均衡

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视频元信息

系列：Game Theory 101（博弈论101）第15讲
主题：无穷多个均衡（Infinitely Many Equilibria）
时长：约 4 分钟（251 秒）

内容摘要（TL;DR）

本讲通过一个 2×2 博弈，演示了部分混合策略纳什均衡如何产生无穷多个均衡。核心机制：当某参与人采用纯策略使另一参与人在两个策略间无差异时，后者可以任意概率混合，从而产生连续统的均衡。视频还预告：几乎所有博弈的均衡数量都是奇数。

一、开场与博弈设定 [00:00]

William Spaniel 介绍本讲主题为「无穷多个均衡」，并说明内容对应《博弈论101》完整教材第 1.8 节，更多资料见视频简介。

博弈结构：

两个参与人，每人两种策略
参与人一：上（Up）、下（Down）
参与人二：左（Left）、右（Right）

本讲核心结论：当一方纯策略使另一方无差异时，会产生无穷多个部分混合策略纳什均衡。

二、识别严格被占优策略 [00:21]

参与人二的「右」是严格被占优策略（Strictly Dominated Strategy）。

推导：

若参与人一选「上」：左的收益为 1，右的收益为 0 → 1 > 0，左更优
若参与人一选「下」：左的收益为 2，右的收益为 -5 → 2 > -5，左更优

因此，无论参与人一如何选择，参与人二选「左」总是严格优于选「右」。参与人二永远不应选择「右」。

易错点：严格被占优策略的判断标准是「无论对手怎么选，该策略都严格更差」，而非仅在某一种情况下更差。

三、剔除严格被占优策略后的博弈 [00:41]

通过迭代剔除严格被占优策略（Iterated Elimination of Strictly Dominated Strategies），将「右」这一列剔除，博弈简化为只剩「左」一列。

注意：视频中表述为「剔除严格被占优策略」，实际被剔除的是参与人二的「右」策略。

简化后的博弈：

参与人二只有一个选择：左
参与人一在「上」和「下」之间选择
关键：当参与人二选「左」时，参与人一选「上」得 3，选「下」也得 3 → 参与人一在上下之间无差异

理解：无差异意味着参与人一无法通过改变策略来获得更高收益，因此他「不在乎」选哪个。

四、两个纯策略纳什均衡 [01:05]

简化博弈中存在两个纯策略纳什均衡：

（上，左）：参与人二不想偏离到「右」（严格被占优）；参与人一偏离到「下」收益仍为 3，无利可图。
（下，左）：参与人二不想偏离到「右」；参与人一偏离到「上」收益仍为 3，无利可图。

考点：纳什均衡的定义——没有任何参与人能通过单方面偏离来提高收益。当偏离前后收益相同（无差异）时，偏离不构成「获利」，因此仍满足均衡条件。

五、部分混合策略纳什均衡与无穷多均衡 [01:35]

部分混合策略纳什均衡（Partially Mixed Strategy Nash Equilibrium）：一个参与人采用纯策略，另一个参与人采用混合策略。

本例中的部分混合策略均衡：

参与人二：采用纯策略，总是选「左」
参与人一：采用混合策略，以概率 p 选「上」，以概率 (1-p) 选「下」
任何 p 值都能构成均衡

推导为什么任何 p 都成立：

参与人二永远不想偏离「左」（因为「右」是严格被占优策略）
参与人一无论选上还是选下，收益都是 3，无法通过偏离获利
因此参与人一可以「自由地」按任意概率混合

由于 0 到 1 之间有无数个数字，p 可以取 1/2、1/3、2/5、67……任何值，因此该博弈有无穷多个均衡。

核心机制：一方纯策略使另一方无差异 → 无差异方可以任意混合 → 无穷多个均衡。这是本讲最重要的考点。

六、一般性规律与检查方法 [02:35]

规律：每当你看到一个博弈中，某参与人采用纯策略会让另一参与人变得无差异，就必须去检查另一参与人的混合策略。

具体到本例：

参与人二选择「左」→ 使参与人一在「上」和「下」之间无差异
参与人一在上下之间任意混合 → 参与人二永远不想切换到「右」
因此构成部分混合策略纳什均衡

注意事项：无论博弈是原始形式，还是经过迭代剔除严格被占优策略后的简化形式，只要出现「一方纯策略使另一方无差异」的情况，都必须检查是否存在无穷多个部分混合策略均衡。

拓展：视频提到「如果占有博弈」（可能是上一讲中的某个博弈）也属于这种情况，留给观众自行求解。

七、预告：均衡数量的奇偶性 [03:47]

视频结尾预告下一讲内容：

本讲博弈有无穷多个均衡，这比较奇怪
之前见过的博弈，均衡数量多为奇数
下一讲将讨论：均衡数量为奇数并非巧合
事实上，几乎所有博弈都有奇数个均衡

考点预告：几乎所有的博弈都有奇数个均衡。这是博弈论中的一个重要定理，下一讲将详细讨论。

思考：为什么是奇数？这与纳什均衡的拓扑性质有关。无穷多个均衡可以视为一种「退化」情形，其中奇数性以另一种方式体现。

八、关键概念总结

概念	解释
严格被占优策略	无论对手如何选择，该策略的收益都严格低于另一策略
迭代剔除严格被占优策略	反复剔除严格被占优策略以简化博弈
无差异	参与人在两个策略间收益相同，无法通过改变策略获利
纯策略纳什均衡	所有参与人都采用纯策略的纳什均衡
部分混合策略纳什均衡	一方采用纯策略，另一方采用混合策略的纳什均衡
无穷多个均衡	当一方纯策略使另一方无差异时，无差异方可任意混合，产生连续统的均衡

九、易错点与注意事项

易错点1：无差异 ≠ 无利可图 ≠ 不是均衡。 无差异时偏离不改变收益，仍满足纳什均衡条件。

易错点2：严格被占优策略的剔除是「严格」的。 只有严格被占优才能安全剔除，弱被占优策略的剔除可能改变均衡集合。

易错点3：无穷多个均衡的根源是「无差异」。 只要出现一方纯策略使另一方无差异，就要警惕无穷多个部分混合策略均衡。

易错点4：不要只检查纯策略均衡。 混合策略均衡（包括部分混合）也是纳什均衡的重要组成部分。