博弈论 101 第 12 讲：混合策略里的严格占优

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视频元信息

主讲：William Spaniel（匹兹堡大学）
主题：混合策略中的严格占优（Strict Dominance with Mixed Strategies）
对应教材：Game Theory 101 完整教材第 1.7 课
时长参考：约 6 分 30 秒（据时间戳推算）

内容摘要（TL;DR）

本讲说明严格占优不仅适用于纯策略，也适用于混合策略：若某混合策略在所有对手策略下都优于某个纯策略，则该纯策略被严格占优，可立即剔除。视频用一个 3×2 博弈演示：玩家 1 的"中"策略被"上/下各 1/2"的混合策略严格占优，剔除后化为 2×2 博弈，再完整走一遍混合策略纳什均衡算法，求得均衡为（上 3/5，下 2/5；左 3/7，右 4/7）。

章节笔记

引言与课程定位 [00:00]

主讲 William Spaniel，本讲主题是严格占优的混合策略（严格占优在混合策略中如何运作）。
过去已讲过纯策略如何严格占优另一个纯策略，但尚未讨论混合策略层面的占优。
理解：本讲是把"严格占优"这一工具从纯策略推广到混合策略，属于求解博弈的前置简化步骤。

本讲内容对应 Game Theory 101 完整教材第 1.7 课，详情见视频简介。

待分析博弈的结构 [00:28]

博弈设定如下：

玩家 1 有三个策略：上、中、下。
玩家 2 有两个策略：左、右。

关键观察：没有任何一个纯策略能严格占优另一个纯策略。

理解：如果只允许用纯策略做剔除，这个博弈"无从下手"——没有可剔除的策略。
因此仅靠纯策略层面的迭代剔除严格占优策略（IESDS）无法推进求解。

核心原理：混合策略也能严格占优 [00:54]

考点：严格占优的定义不区分纯策略还是混合策略。

如果你找到两个（或更多）策略之间的一个混合，而这个混合严格占优了另一个策略，那么就可以立刻剔除被占优的那个策略。
原因：被严格占优的策略是不理性的——无论对手怎么做，你改用那个占优策略（纯的或混合的）都能做得更好，所以选择被占优策略毫无道理。
操作流程：找到一个混合策略严格占优某个纯策略 → 剔除该纯策略 → 像过去一样继续求解博弈。

易错点：很多人只记得"纯策略剔除纯策略"，忽略了"混合策略可以剔除纯策略"。这是本讲最核心的考点。

构造混合策略：上/下各 1/2 [01:44]

考察玩家 1 以 1/2 概率选"上"、1/2 概率选"下"的混合策略：

当玩家 2 选"左"时：
- 一半时间得 3，一半时间得 -1，平均值为 (3 + (-1))/2 = 1。
- 这比玩家 1 选"中"得到的 0 更好。
当玩家 2 选"右"时：
- 一半时间得 -1，一半时间得 2，平均值为 (-1 + 2)/2 = +1/2。
- 这也比选"中"得到的 0 更好。

推导：混合策略的期望效用 = 各纯策略结果的概率加权平均，这是后续所有计算的基础。

结论：无论玩家 2 选左、选右，还是左右之间的任何混合，玩家 1 玩"上/下"混合都比玩"中"得到更多。

按严格占优的定义，"中"是被严格占优的策略，可以剔除。

注意：只需比较混合策略与"中"策略在对手每个纯策略下的收益即可。因为对手的混合策略只是其纯策略的加权平均，若在对手所有纯策略下都占优，则在对手任何混合下也占优（期望的线性性质）。

剔除"中"后的 2×2 博弈与均衡预判 [02:44]

剔除"中"后，博弈变成普通的 2×2（上/下 × 左/右）。
该 2×2 博弈没有纯策略纳什均衡：它本质上类似"猜硬币"博弈——玩家 1 想要（左上）或（右下）的结果，玩家 2 想要（右上）的结果，双方偏好错位。
因此必然存在一个混合策略纳什均衡。
理解：这是纳什均衡存在性定理的直觉应用——有限博弈必有纳什均衡（可能为混合策略）。

求解玩家 1 的混合策略（让玩家 2 无差异）[03:17]

算法：令玩家 2 选左和选右的期望效用相等，解出玩家 1 选"上"的概率。

设玩家 1 选"上"的概率为 p（转录中读作 "segment up"）：

玩家 2 选左的期望效用：
- p × (-1) + (1 - p) × 2
玩家 2 选右的期望效用：
- p × 1 + (1 - p) × (-1)

令两者相等：

-p + 2(1 - p) = p - (1 - p)
-p + 2 - 2p = p - 1 + p
2 - 3p = 2p - 1
3 = 5p
p = 3/5

结论：玩家 1 以 3/5 概率选"上"、2/5 概率选"下"时，玩家 2 在其纯策略之间无差异，因而愿意混合。

求解玩家 2 的混合策略（让玩家 1 无差异）[04:44]

算法：令玩家 1 选"上"和选"下"的期望效用相等，解出玩家 2 选"左"的概率。

设玩家 2 选"左"的概率为 q（转录中读作 "second left"）：

玩家 1 选"上"的期望效用：
- q × 3 + (1 - q) × (-1)
玩家 1 选"下"的期望效用：
- q × (-1) + (1 - q) × 2

令两者相等：

3q - (1 - q) = -q + 2(1 - q)
3q - 1 + q = -q + 2 - 2q
4q - 1 = 2 - 3q
7q = 3
q = 3/7

结论：玩家 2 以 3/7 概率选"左"、4/7 概率选"右"时，玩家 1 在其纯策略之间无差异。

混合策略纳什均衡结果 [05:29]

均衡策略组合：

玩家 1：以 3/5 概率选"上"，以 2/5 概率选"下"。
玩家 2：以 3/7 概率选"左"，以 4/7 概率选"右"。

关于"中"策略的最终确认：玩家 1 不会在均衡中给"中"任何概率。

原因：当某个混合策略比"中"更好时，"中"就是不理性的策略。
本讲例子中，不仅"上/下各 1/2"的混合优于"中"，均衡中实际使用的（3/5, 2/5）混合也优于"中"。

思考：这体现了严格占优策略在均衡中概率为零的一般性质——被严格占优的策略永远不会以正概率出现在任何纳什均衡中。

小结与下一讲预告 [05:59]

本讲完成了"严格占优"主题的收尾，讲得相当扎实。
另一种占优概念是弱占优（weak dominance），它比严格占优棘手得多。
下一讲将开始讨论什么是弱占优，以及它为什么比严格占优棘手这么多。

预告要点：弱占优的"棘手"通常源于——弱占优策略被剔除的合理性存在争议（对手无差异时，被弱占优策略未必不理性），且迭代剔除顺序可能影响结果。这是后续课程的重点，本讲不展开。

关键概念解释（补充）

严格占优（Strict Dominance）：策略 A 严格占优策略 B，指无论对手选择什么，A 的收益都严格大于 B。被严格占优的策略可安全剔除。
混合策略（Mixed Strategy）：以概率分布随机选择纯策略。其收益是各纯策略收益的概率加权平均。
混合策略纳什均衡求解法（无差异法）：令对手在其各纯策略上的期望效用相等，解出己方概率，使对手无差异而愿意混合。
迭代剔除严格占优策略（IESDS）：反复剔除被严格占优的策略，逐步简化博弈。本讲说明该过程可纳入混合策略作为剔除工具。

【拓展】混合策略占优的判定条件：若存在一个混合策略 σ 使得对对手的每一个纯策略，σ 的收益都严格大于纯策略 s 的收益，则 s 被严格占优。由于对手的混合策略收益是其纯策略收益的加权平均，故只需检查对手的纯策略即可，无需检查无穷多的混合策略——这是本讲计算得以简化的关键。

【拓展】严格占优与均衡的关系：在有限博弈中，被严格占优的策略在任何纳什均衡（含混合）中的概率必为零。因此本讲中"中"策略在均衡里概率为 0，与计算所得均衡一致。

容易踩坑的点

易错点：只检查对手的纯策略是不够的错觉。 实际上只需检查对手纯策略即可（因期望线性），但前提是"严格"占优——弱占优时此性质会出问题。
易错点：混淆"混合策略占优"与"混合策略均衡"。 前者是剔除工具，后者是求解目标，本讲先剔除再求均衡，两步不可混为一谈。
易错点：代数符号。 转录中 "segment up" 实为 σ_up（玩家 1 选上的概率），"second left" 实为 σ_left（玩家 2 选左的概率），理解时注意还原。